《矩阵分析与计算》李继根 2013.10

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矩阵分析与计算

• 内容简介:

  《矩阵分析与计算》是基于编著者多年从事矩阵分析类课程的教学改革实践经验，并结合学生的实际情况编写而成的，可作为高等院校理工科各专业研究生和工程硕士学习矩阵分析等相关课程的教材，也非常适合理工科高年级本科生学完线性代数课程后进一步学习之用。全书分为线性方程组、线性空间与线性变换、内积空间、特殊变换及其矩阵、范数及其应用、矩阵分析及其应用、特征值问题七章。《矩阵分析与计算》既注意系统性，又注重体现工科特色，深广度适中，并适当略去了一些定理的证明。书中注重启发式教学，采用多种方式自然地引入基本概念和基本方法。同时，行文时非常注重几何直观及与类比，力争做到深入浅出、简洁易懂，以便于自学。书中还穿插了许多矩阵计算知识，并附有大量matlab代码，以渗透科学计算思维。此外，书中加入的大量数学史与数学文化知识，极大地增强了《矩阵分析与计算》的趣味性。

• 目录:

  第1章线性方程组
  1.1线性方程组的解法回顾
  1.1.1从高斯消元法谈起
  1.1.2计算复杂性分析
  1.1.3历史开了个大玩笑
  1.2矩阵的LU分解
  1.2.1LU分解定理
  1.2.2列选主元法
  1.2.3特殊矩阵的Lu分解
  1.3数值计算的几个基本概念
  1.3.1计算机的浮点数系统与舍人误差
  1.3.2问题的病态性与算法的稳定性
  1.3.3算法的计算复杂性
  1.4线性方程组的数值解法概述
  习题一

  第2章线性空阍与线性变换
  2.1从解空间到向量空间
  2.1.1从齐次线性方程组的求解谈起
  2.1.2向量空间
  2.1.3向量空间的历史：前传
  2.2线性空间
  2.2.1什么是线性
  2.2.2线性空间的概念及性质
  2.2.3线性空间的基、坐标及其变换
  2.2.4线性空间的同构？
  2.2.5向量空间的历史：狂飙的数学
  2.3子空间的交与和
  2.3.1子空间的交与和
  2.3.2子空间的直和
  2.4线性变换及其矩阵表示
  2.4.1几个简单的线性变换
  2.4.2线性变换及其性质
  2.4.3线性变换的矩阵表示
  2.4.4线性变换的不变子空间
  2.5矩阵的Jordan标准型
  2.5.1从算术基本定理到Jordan标准型
  2.5.2Jordan标准型的简易求法
  2.5.3Jordan其人
  2.6方阵高次幂的计算
  2.6.1从两个例子说起
  2.6.2Jordan分解法
  2.6.3cayley？Hamilton定理及最小多项式
  习颢二

  第3章内积空间
  3.1从向量空间R”到欧氏空间R”
  3.1.1从向量的内积说起
  3.1.2欧氏空间R”的标准正交基
  3.2QR分解
  3.2.1再谈Gram-Schmidt方法
  3.2.2矩阵的QR分解
  3.3欧氏空间及其标准正交基
  3.3.1欧氏空间
  3.3.2欧氏空间的标准正交基
  3.3.3正交投影定理
  3.4最小二乘法
  3.4.1解不相容线性方程组的最小二乘法
  3.4.2最佳逼近定理及其应用
  3.5Householder变换与Givens变换
  3.5.1正交变换及其矩阵
  3.5.2求QR分解的Householder变换法
  3.5.3下蛋的母鸡
  3.6酉空间、酉变换与酉矩阵
  习题三

  第4章特殊变换及其矩阵
  4.1正规变换与正规矩阵
  4.1.1正规变换
  4.1.2正规矩阵
  4.2Hermite变换与Hermite矩阵
  4.2.1Hermite变换（Hermite矩阵）的定义和性质
  4.2.2达到教育的目的是用头脑，又不是用脚
  4.2.3正定Hermite矩阵
  4.2.4对称：是可怕的还是可爱的？
  4.3投影变换与投影矩阵
  4.4谱分解的应用
  4.4.1离散Karhunen-Loeve变换
  4.4.2主成分分析
  4.5矩阵的奇异值分解
  4.5.1从几何观测说起
  4.5.2由SVD导出的矩阵性质
  4.5.3SVD的算法
  4.5.4SVD教授
  4.6矩阵的标准型
  4.6.1实正规矩阵在正交相似下的标准型
  4.6.2各种矩阵标准型之间的关系
  习题四

  第5章范数及其应用
  5.1向量范数
  5.1.1从绝对值及模说起
  5.1.2常用的向量范数
  5.1.3向量范数的几个性质
  5.2矩阵范数
  5.2.1矩阵范数的概念
  5.2.2算子范数及范数的相容性
  5.2.3矩阵范数的几个性质
  5.3范数的几个应用
  5.3.1谱半径与矩阵范数
  5.3.2线性方程组解与矩阵逆的扰动分析？
  5.3.3矩阵的低秩逼近及其应用
  5.3.4只要醒着，你就必须思考数学
  习题五

  第6章矩阵分析及其应用
  6.1矩阵序列与矩阵级数
  6.1.1矩阵序列
  6.1.2矩阵级数
  6.2解线性方程组的古典迭代法
  6.2.1三种基本迭代法
  6.2.2敛散性分析
  6.3解线性方程组的现代迭代法
  6.3.1共轭梯度法
  6.3.2子空间迭代法
  6.3.3那些年，那些事
  6.4函数矩阵及λ矩阵
  6.4.1函数矩阵
  6.4.2λ矩阵及其Smith标准型
  6.4.3Smith标准型的应用
  6.5矩阵函数及其计算
  6.5.1矩阵函数的定义及性质
  6.5.2矩阵函数的计算
  6.5.3矩阵指数函数的数值计算：krylov子空闻法
  6.6矩阵的微分与积分
  6.6.1含参矩阵函数的微分与积分
  6.6.2函数对向量的微分
  6.6.3矩阵标量函数对矩阵的微分
  6.6.4矩阵对矩阵的微分
  6.6.5成于计算，败于算计
  6.7矩阵函数的应用
  6.7.1线性常系数微分方程组
  6.7.2应用Ⅰ：线性定常系统的状态转移矩阵
  6.7.3矩阵微分方程
  6.7.4应用Ⅱ：线性时变系统的状态转移矩阵
  6.7.5应用Ⅲ：线性时变系统的能控性和能观测性
  习题六

  第7章特征值问题
  7.1特征值的估计
  7.1.1从特征值问题的稳定性说起
  7.1.2盖尔定理
  7.1.3特征值的界
  7.2多项式特征值问题
  7.2.1广义特征值问题
  7.2.2二次特征值问题
  7.3Rayleigh商和广义Rayleigh商
  7.3.1Rayleigh商
  7.3.2广义Rayleigh商
  7.3.3乐在其中的瑞利勋爵
  7.4特征值问题的数值算法综述
  7.4.1扰动和敏感性
  7.4.2幂法与反幂法
  7.4.3QR法
  7.4.4krylov子空间法
  7.4.5Jacobi？Davidson法
  7.4.6兰乔斯先生，请您压阵
  习题七
  习题答案与提示
  参考文献