《 应用泛函分析》楼旭阳 清华大学出版社 2025/4/1

内容简介：

【内容简介】本书是为工科各专业研究生编写的泛函分析基础教材，全书共分七章，内容包括：实分析基础、距离空间、Banach空间、Hilbert空间、有界线性算子、线性算子的谱理论、线性算子半群及其应用。本书注重介绍问题的来源和背景，内容丰富，列举了大量例题，叙述深入浅出，特别强调泛函分析理论和方法在最优化问题和控制论中的应用。

本书可作为工科研究生和应用数学本科生的教学用书，也可作为数学系学生学习泛函分析时的参考书，并可供相关科学技术人员学习参考。

目录：

符号说明 IX

第 1章实分析基础 1

1.1数列的收敛
1

1.2函数列的收敛
. 3

1.
3可测集与可测函数 7

1.4勒贝格积分
. 10

1.4.1黎曼积分
10

1.
4.2勒贝格积分的定义 . 12

1.
4.3勒贝格积分的性质 . 14

1.5
Lp空间 . 17
习题 1 . 19

第 2章距离空间 21

2.
1距离空间的基本概念 21

2.
1.1距离空间的定义 22

2.
1.2距离空间中的点集 . 25

2.
1.3距离空间中的收敛 . 27

2.
1.4距离空间中的连续映射 29

2.
1.5稠密性与可分性 31

2.
2距离空间的完备性 . 34

2.2.1
Cauchy列与完备性 . 34

2.
2.2距离空间的完备化 . 39

2.
3距离空间的列紧性与紧性 . 40

2.
3.1列紧集与紧集 . 41

2.
3.2列紧集的性质 . 42

2.
3.3紧集上的连续映射 . 44

2.
4压缩映射原理及其应用 . 44

2.
4.1不动点与压缩映射 . 45

2.
4.2压缩映射原理 . 46

2.
4.3压缩映射原理的应用 . 48
习题 2 . 53

第 3章 Banach空间 56

3.1线性空间
. 56

3.
1.1线性空间的定义 56

3.1.2线性算子
61

3.2赋范线性空间
64

3.
2.1赋范线性空间的概念 . 64

3.
2.2由范数诱导的距离 . 67

3.
2.3依范数收敛 . 69

3.
3完备赋范线性空间 . 70

3.3.1
Banach空间的概念 . 71

3.3.2
Banach空间的性质 . 74

3.3.3
Riesz引理 76

3.
4有限维赋范线性空间 77
习题 3 . 80

4.1内积空间
. 83

4.
1.1内积空间的概念 84

4.
1.2内积导出的范数 86

4.
1.3范数成为内积的条件 . 88

4.
1.4完备内积空间 . 90

4.2正交与正交系
92

4.2.1正交性
. 92

4.
2.2正交系和标准正交系 . 94

4.2.3
Gram-Schmidt正交化 . 96

4.3
Fourier级数和标准正交基 . 98

4.3.1
Fourier级数和 Bessel不等式 98

4.
3.2标准正交基 . 100

4.3.3
Hilbert空间的同构 107

4.
4最佳逼近和正交分解定理 . 109

4.4.1最佳逼近
109

4.
4.2正交分解定理 . 111

4.
4.3正交投影算子 . 114

4.
5正交分解定理的应用 116

4.5.1最优控制
116

4.
5.2函数逼近问题 . 118

4.
5.3最小二乘法 . 120
习题 4 . 121

第 4章 Hilbert空间 83

第 5章有界线性算子理论 . 123

5.1线性算子
. 123

5.
1.1有界线性算子 . 124

5.1.2连续算子
128

5.2算子空间
. 131

5.
2.1算子范数和算子空间 . 131

5.
2.2算子列的收敛性 137

5.
2.3算子空间的完备性 . 139

5.3一致有界定理
140

5.
3.1一致有界定理与共鸣定理 . 141

5.
3.2一致有界定理的应用 . 143

5.
4逆算子与逆算子定理 148

5.4.1逆算子
. 148

5.
4.2逆算子定理 . 149

5.
4.3逆算子定理的应用 . 151

5.
5闭算子与闭图像定理 152

5.5.1闭算子
. 152

5.
5.2闭图像定理 . 154

5.6
Hahn-Banach延拓定理 . 156
习题 5 . 159

第 6章共轭空间与共轭算子 . 163

6.1共轭空间与
Riesz表示定理 163

6.2自反空间
. 168

6.3共轭算子
. 171

6.
4强收敛与弱收敛 . 179

6.
4.1点列的强收敛与弱收敛 179

6.
4.2算子列的强收敛与弱收敛 . 182

6.
4.3泛函列的弱收敛与弱 *收敛 183

6.5
Riesz表示定理的应用 . 184
习题 6 . 190

第 7章线性算子的谱理论 . 193

7.1谱集和正则集
193

7.
2有界线性算子的谱理论 . 197

7.
3自伴算子的谱理论 . 201

7.
4紧算子的谱理论 . 204

7.
4.1紧算子的定义 . 204

7.
4.2紧算子的性质 . 206

7.
4.3紧算子的谱和 Fredholm抉择定理 . 209
习题 7 . 214

第 8章线性算子半群及其应用 217

8.1抽象
Cauchy问题初探 217

8.
2强连续算子半群 . 220

8.2.1
C0半群的定义和性质 221

8.2.2
C0半群的生成定理 223

8.
2.3耗散算子与压缩半群 . 224

8.
3线性发展方程的解 . 228

8.
4线性算子半群的应用 231

8.
4.1热传导问题 . 232

8.
4.2弦振动问题 . 234

8.4.3人口方程
236

8.4.4
Euler-Bernoulli梁方程 238

8.
4.5柔性吊车系统 . 241
习题 8 . 245

参考文献 . 247