《 俗说矩阵——线性代数详解》苏临之 曹欣 清华大学出版社 2025/4/1

内容简介：

矩阵是重要的数学工具，也是当今人工智能、机器学习等领域重要的数据处理对象。本书作为矩阵理论的教材，将由浅入深地介绍矩阵的基本理论，包括矩阵的概念与运算、线性方程组、线性映射和线性变换、行列式、向量空间、特征值和特征向量、相似矩阵、二次型等，还有这些基本理论在机器学习上的简单应用。此外在本书各章还附上了对应的Python与MATLAB编程实践代码，以供需要工程实践的读者参考应用。
本书可作为高等院校工科专业的本科生教材，也可作为研究生入学考试的参考书，还可供对矩阵理论有需求的工程技术人员阅读参考。

目录：

第1章从初等数学到高等数学

习题1

第2章矩阵是什么

2．1面包机里的学问

2．2矩阵的基本运算

2．3是矩阵，也是映射

2．3．1映射的概念和实例

2．3．2矩阵的映射属性

2．3．3线性映射

2．4编程实践： MATLAB和矩阵

习题2

第3章线性方程组

3．1从二元一次方程组说起

3．1．1齐次线性方程组

3．1．2非齐次线性方程组

3．1．3线性方程组的矩阵表示

3．2高斯消元法和矩阵初等行变换

3．2．1方程组的整体等价变换与高斯消元法

3．2．2矩阵的初等行变换和阶梯矩阵

3．3齐次方程组的求解

3．3．1通解的概念

3．3．2齐次方程组解的判断

3．3．3非零解和基础解系

3．3．4主变量和自由变量

3．3．5齐次方程组的求解步骤

3．4非齐次方程组的求解

3．4．1增广矩阵

3．4．2非齐次方程组解的判断

3．4．3具有无穷解方程组的通解

3．4．4非齐次方程组的求解步骤

3．5初识矩阵的秩

3．5．1秩的概念与求法

3．5．2矩阵秩的基本性质

3．5．3特殊矩阵的秩

3．6线性方程组理论的应用

3．6．1含有参数的线性方程组问题

3．6．2线性方程组和空间解析几何

3．6．3使用线性方程组配平化学方程式

3．6．4使用线性方程组求解牛吃草问题

3．7编程实践： MATLAB求解线性方程组

习题3

第4章矩阵乘法

4．1矩阵乘法： 线性映射的复合法则

4．1．1再从线性方程组说起

4．1．2矩阵乘法运算法则

4．1．3左乘和右乘

4．1．4矩阵乘法的条件

4．2矩阵乘法代数表示及性质

4．2．1矩阵乘法代数表示的推导

4．2．2矩阵乘法的基本性质

4．3特殊矩阵的乘法

4．3．1含有零矩阵的乘法

4．3．2含有对角阵和单位阵的乘法

4．3．3向量之间的乘法

4．3．4可交换矩阵的乘法

4．4矩阵乘法的拓展

4．4．1转置矩阵的乘法

4．4．2矩阵乘方

4．4．3矩阵多项式

4．5矩阵乘法的应用： Kappa系数计算式的推导

4．5．1Kappa系数

4．5．2Kappa系数的矩阵表达公式

4．5．3Kappa系数计算举例

4．6编程实践： MATLAB实现矩阵乘法

习题4

第5章逆矩阵

5．1矩阵乘法和初等变换的纽带： 初等矩阵

5．1．1初等变换

5．1．2初等矩阵

5．1．3矩阵的连续初等变换

5．2矩阵的倒数： 逆矩阵

5．2．1逆矩阵的概念

5．2．2逆矩阵的存在条件

5．2．3逆矩阵与逆映射

5．2．4逆矩阵的性质

5．3逆矩阵的求法

5．3．1初等行变换法求逆矩阵

5．3．2特殊矩阵的逆矩阵

5．4逆矩阵的拓展与延伸

5．4．1抽象矩阵的逆矩阵问题

5．4．2简单矩阵方程的求解

5．5编程实践： MATLAB求逆矩阵

习题5

第6章线性映射和线性变换

6．1再谈矩阵的映射属性

6．1．1复习与延伸： 映射及其分类

6．1．2矩阵的映射属性

6．2平面上的线性变换

6．2．1复习： 平面向量基本定理

6．2．2平面线性变换

6．2．3单位正方形的变化和变换比例系数

6．3编程实践： 平面图形的变换和讨论

习题6

第7章行列式

7．1行列式的基本运算和化简

7．1．12阶、3阶行列式的运算

7．1．2三角行列式和初等变换化简

7．1．3n阶行列式的计算

7．2行列式的降阶和展开

7．2．1行列式左上角元素降阶

7．2．2行列式一般元素的降阶

7．2．3行列式按行按列展开

7．2．4行列式展开公式的进一步讨论

7．3行列式的综合计算方法与技巧

7．4行列式在矩阵理论上的应用

7．4．1行列式和矩阵乘法

7．4．2行列式和矩阵的秩

7．4．3行列式和线性方程组

7．4．4行列式和逆矩阵

7．4．5零值行列式结论汇总

7．5编程实践： MATLAB计算行列式

习题7

第8章分块矩阵

8．1将大矩阵切成小矩阵

8．1．1矩阵分块初体验

8．1．2矩阵的几种分块方式

8．2分块矩阵的运算

8．2．1分块矩阵的转置

8．2．2分块矩阵的加减法和数乘

8．2．3分块矩阵的乘法

8．2．4分块矩阵的求逆

8．2．5分块矩阵的行列式计算

8．3分块初等变换

8．3．1分块矩阵的初等变换

8．3．2分块初等矩阵

8．4编程实践： MATLAB实现矩阵的分块与合并

习题8

第9章矩阵的秩

9．1矩阵的秩： 深度刻画

9．1．1由线性映射刻画矩阵的秩

9．1．2由行列式刻画矩阵的秩

9．2矩阵秩的性质

9．3矩阵的秩性质应用

9．4编程实践： MATLAB计算矩阵的秩

习题9

第10章伴随矩阵

10．1伴随矩阵及其构建

10．1．12阶方阵的伴随矩阵

10．1．2任意方阵伴随矩阵的构建

10．1．3逆矩阵的另一种构建方式

10．1．4关于伴随矩阵的术语说明

10．2伴随矩阵十大公式

10．2．1伴随矩阵公式推导

10．2．2伴随矩阵十大公式汇总

10．3伴随矩阵公式应用

10．4克拉默法则

10．5编程实践： MATLAB计算伴随矩阵

习题10

第11章矩阵、向量和空间

11．1多维空间向量基本定理

11．1．1平面向量基本定理的矩阵分析

11．1．2更高维度空间向量的基本定理

11．2线性无关和线性相关

11．2．1线性无关和线性相关的概念和意义

11．2．2线性无关和线性相关的拓展与应用

11．2．3线性无关和线性相关的性质总结

11．3向量组及其表示空间

11．3．1向量组的秩和极大线性无关组

11．3．2等价向量组

11．4单位正交基向量组

11．4．1复习与延伸： 数量积、正交与单位向量

11．4．2单位正交基向量组

11．4．3格拉姆彩┟芴卣交化

11．4．4正交矩阵

11．5空间的基变换和坐标变换

11．5．1基向量和坐标

11．5．2基变换和坐标变换

11．6编程实践： 有关向量组的综合任务

习题11

第12章特征值和特征向量

12．1特征值和特征向量的概念

12．1．1对角阵的特征值和特征向量

12．1．2一般方阵的特征值和特征向量

12．1．3特征值和特征向量的代数定义

12．2特征值和特征向量的计算

12．3特征值和特征向量的性质

12．3．1单根、重根特征值的性质

12．3．2特征值的和与积

12．3．3关联矩阵的特征值和特征向量

12．3．4凯莱补密尔顿定理

12．4特征值和特征向量举例应用

12．5编程实践： MATLAB计算特征值和特征向量

习题12

第13章相似矩阵与相似对角化

13．1相似矩阵

13．1．1相似矩阵的概念和意义

13．1．2相似矩阵的性质

13．2相似对角化

13．2．1相似对角化的概念和意义

13．2．2相似对角化的条件和计算

13．2．3相似对角化的应用

13．3实对称矩阵

13．3．1实对称矩阵的特征值和特征向量

13．3．2实对称矩阵的相似对角化

13．3．3实对称矩阵综合举例

13．4编程实践： MATLAB实现相似对角化

习题13

第14章二次型

14．1二次型及其矩阵表示

14．1．1多元二次函数和二次型

14．1．2二次型的矩阵表示

14．2合同变换化二次型为标准形

14．2．1合同变换与合同对角化

14．2．2配方法化二次型为标准形

14．2．3正交变换法化二次型为标准形

14．3二次型和圆锥曲线、二次曲面

14．3．1二次型和平面圆锥曲线

14．3．2二次型和空间二次曲面

14．4规范形和正定、负定二次型

14．4．1二次型的规范形和惯性指数

14．4．2正定二次型和负定二次型

14．4．3顺序主子式判定法则

14．5编程实践： 二次型的综合任务

习题14

第15章机器学习中的矩阵基础

15．1多元函数的导数、极值和优化

15．1．1多元函数的导数： 梯度和海森矩阵

15．1．2多元函数极值求法

15．1．3梯度和海森矩阵优化算法

15．2最小二乘法

15．2．1散点的线性拟合问题举例

15．2．2向量函数及其导数

15．2．3最小二乘法公式推导

15．3主成分分析法(PCA)

15．3．1数据的降维压缩

15．3．2主成分分析基本原理

15．3．3主成分分析基本步骤和实例

15．4奇异值分解（SVD）

15．4．1矩阵和线性映射的分解

15．4．2奇异值分解的计算方法

15．4．3奇异值分解在图像处理中的应用

习题15

第16章矩阵理论的发展与未来

16．1矩阵理论的起源和发展

16．2矩阵理论的学习和进阶

习题16

附录A数理逻辑及证明基础知识

A.1命题逻辑

A.2充分条件和必要条件

A.3数学证明常用方法

A.3.1反证法

A.3.2分析法

A.3.3数学归纳法