《普林斯顿数学指南（第二卷）》(英)高尔斯(Gowers,T.)主编 科学出版社 2014/1/1

内容简介：

      《普林斯顿数学指南》是由Fields 奖得主T. Gowers 主编、133 位著名数学家共同参与撰写的大型文集. 《普林斯顿数学指南（第二分册）》由288 篇长篇论文和短篇条目构成, 目的是对20 世纪最后一二十年纯粹数学的发展给出一个概览, 以帮助青年数学家学习和研究其最活跃的部分, 这些论文和条目都可以独立阅读. 原书有八个部分, 除第Ⅰ部分是一个简短的引论、第Ⅷ部分是《普林斯顿数学指南（第二分册）》的“终曲”以外, 《普林斯顿数学指南（第二分册）》分为三大板块, 核心是第Ⅳ部分“数学的各个分支”, 共26 篇长文, 介绍了20 世纪最后一二十年纯粹数学研究中最重要的成果和最活跃的领域, 第Ⅲ部分“数学概念”和第Ⅴ部分“定理与问题”都是为它服务的短条目. 第二个板块是数学的历史, 由第Ⅱ部分“现代数学的起源”(共7 篇长文)和第Ⅵ部分“数学家传记”(96 位数学家的短篇传记)组成. 第三个板块是数学的应用, 即第Ⅶ部分“数学的影响”(14 篇长文章). 作为《普林斯顿数学指南（第二分册）》“终曲”的第Ⅷ部分“结束语：一些看法”则是对青年数学家的建议等7 篇文章.
中译本分为三卷, 第一卷包括第Ⅰ~Ⅲ部分, 第二卷即第Ⅳ部分, 第三卷包括第Ⅴ~Ⅷ部分.


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目录：

第IV部分数学的各个分支
　　IV.1 代数数
　　Barry Mazur 
　　这个分支的根可以追溯到古希腊,它的枝叶却触及现代数学几乎所有的方面.如果真有所谓“奠基性的著作”,那么,对于数论的现代态度的起源,这就要算是最初在1801年问世的高斯[Ⅵ.26]的《数论研究》(DisquisitionesArithmeticae)这部书.当代研究中许多尚未达到的目的都已经可以在高斯的著作里见到,至少是出现了胚胎形式.
　　本文的意图就是给有志于学习和思索代数数经典理论的某些方面的读者提供一个指南.想要懂得代数数理论的很大一部分,想要领略它的美,都只需要最少限度的理论背景.对于每一位打算踏上这条旅程的读者,我建议在自己的背包里带上高斯的《数论研究》,以及Davenport的TheHigherArithmetics(1992),后一本书可以说是讲解这门学科的珍宝,它对于奠基性的思想的讲解既清楚又深入,而且几乎没有用到高中以外的数学知识.
　　1. 2 的平方根
　　代数数和代数整数的研究是从通常的有理数和整数的研究开始的,而又经常要回溯到对它们的研究.第一批代数无理性开始并不是作为数出现的,而是作为对几何问题的障碍出现的.
　　正方形的对角线和边长的比不能表示为整数之比,传说是早期的毕达哥拉斯学派的一桩心病.但是正是这个比,平方以后却是2:1,所以我们可以代数地对待它——而后来的数学家们确实这样做了.我们可以把这个比当作一个没有什么内容的密码,而我们所知的仅仅是：“它的平方等于2”(这也就是后来的数学家克罗内克[Ⅵ.48]对于代数数的观点,这一点下面还会看到).可以用种种不同的方式来写出√2, 例如√2= |1 . i| . (1) 
　　我们还会想到1 . i=1 . e2πi/4,因此它是最早的三角和,在下面会看到这一点对于二次根式(surd)的推广.也可以把√2 看成是各种无限序列的极限,其中之一是由
　　漂亮的连分数[Ⅲ.22]给出的： 
　　√2 = 1 + 2 + 1 1 . (2) 
　　2 + . .. 
　　与连分数(2)直接相关的有下面的丢番图方程 
　　2X2 . Y 2 =±1, (3) 
　　
　　称为佩尔(Pell)方程.有无数多对整数(x,y)满足这个方程,而相应的分数就是把
　　(2)式切断所得到的有限分数,例如,(3)的前几个解是(1,1),(2,3),(5,7),(12,17),