《有限群初步》徐明曜著 科学出版社 2014/1/1

内容简介：

     《有限群初步》是在十多年前出版的《有限群导引》的基础上进行修改、补充、材料更新以及删减过时内容而形成的新的有限群教材. 《有限群初步》共分8 章. 第1 章叙述群论最基本的概念，其中有些内容在群论课程的先修课“抽象代数”中已经学过，但相当部分内容是新的. 整个这一章是学习《有限群初步》的基础，因此必须认真阅读，并且应该做其中大部分的习题. 从第2 章起则是沿着两条主线进行：一条主线是群的作用；另一条主线是关于群的构造问题. 《有限群初步》作者多年从事有限群的教学和研究工作，这《有限群初步》是他多年教学工作的总结.


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目录：

第1 章群论的基本概念
阅读提示:本章是群论最基本的知识,学习本书者应该仔细研读,并做大部分习题.
本章是对抽象代数课程中已经学过的群论的基本概念进行复习和补充.因此,很多结果不再给出证明.
1.1 群的定义
定义1.1.1称非空集合G为一个群,如果在G中定义了一个二元运算,叫做乘法,它满足
(1)结合律：(ab)c=a(bc),a,b,c∈ G;

(2)存在单位元素：存在1∈ G, 使得对任意的a ∈ G, 恒有


1a=a1=a;
(3)存在逆元素：对任意的a∈ G,存在a.1 ∈ G, 使得
aa.1 =a.1 a =1.
定义一个群有多种不同的方式.例如,上述条件(2),(3)可以分别减弱为(a1=(2a.)); 存在左(右)单位元素：存在1∈ G, 使得对任意的a ∈ G,有1a=a
(3.)存在左(右)逆元素：对任意的a∈ G,存在a.1 ∈ G,使得a.1a =1
(aa.1 =1).则条件(1),(2.)和(3.)亦可定义一个群.又,我们有定义1.1.2称非空集合G为一个群,如果在G中定义了一个二元运算,叫
做乘法. 它满足
(1)结合律：(ab)c=a(bc),a,b,c∈ G;

(4)对任意的a,b∈ G,存在x,y∈ G,满足ax=b和ya=b.更多的定义群的方法可以参看[45].定义1.1.3如果群G满足

(5)交换律：ab=ba,a,b∈ G,则称G为交换群或Abel群.


在我们熟悉的基本数系,即正整数系N、整数系Z、有理数系Q、实数系R和
复数系C中就可以找到很多群的例子,而且它们都是交换群.例1.1.4Z对加法成群(Z,+).例1.1.5任一数域F对加法成群(F,+).特别地,(Q,+),(R,+),(C,+)
是群.例1.1.6任一数域F的非零元素集合F# 对乘法成群(F# ,).特别地,(Q# ,),(R# ,),(C# , ) 是群. ?
???
例1.1.7正有理数集Q+ 和正实数集R+ 对乘法成群(Q+ ,),(R+ ,).例1.1.8模为1的全体复数对乘法成群C1.??


例1.1.9设n为正整数,n次单位根的全体对乘法组成群Un,并且∞Un =
n=1
U 对乘法也成群. 容易证明, 由数组成的所有有限乘法群都是U 的子群.
例1.1.10整数环Z关于理想(n)的同余类环Zn=Z/(n)对加法成群