《概率论与数理统计/理科类》马毅,王竞波,岳晓宁 清华大学出版社 2017/9/1

内容简介：

本书从面向高等教育大众化的角度出发, 介绍古典概型、条件概率、事件的独立性、随机变量、数字特征、样本与统计量、参数估计、假设检验及线性回归分析的基础知识, 帮助养学生掌握概率论与数理统计的基本理论和基本解题方法, 提高解决问题的能力。

目录：

　　第3章随机向量
　　在实际问题中，有些试验的结果需要同时用两个或两个以上的随机变量来描述，如射击试验弹着点的具体位置要由它的横坐标和纵坐标来确定。又如，为了考察炼出的每炉钢的质量，需要考虑含碳量、含硫量和硬度等基本指标，这就涉及3个随机变量——含碳量、含硫量和硬度；如果还需要考察其他指标，则应引入更多的随机变量。在研究的问题中，由于这些随机变量之间通常存在着某种内部联系，因此需要把这些随机变量看作一个整体来加以研究。
　　若和都是随机变量，则由、组成的一个整体称为二维随机向量。二维随机向量中，、均称为它的分量。在讨论二维随机变量时，可以把看作是平面上具有随机坐标的点。
　　一般来说，对某一随机试验涉及的n个随机变量，记为，称为n维随机向量或n维随机变量。
　　显然，第2章所讨论的随机变量是一维随机变量。和一维随机变量类似，二维随机向量也可分为连续型和离散型等几类。为了叙述方便，本章主要讨论二维随机向量，至于多维随机向量不难类推。
　　3.1二维随机向量及其分布函数
　　二维随机向量中的两个随机变量和是有联系的，它们是定义在同一样本空间上的两个随机变量。其性质不仅与的性质及的性质有关，而且还依赖于这两个随机变量的相互关系，因此仅仅逐个研究和的性质是不够的，必须把作为一个整体加以研究。
　　首先引入其分布函数的概念。
　　定义3.1设是二维随机向量，对于任意实数，称二元函数
　　()(3.1)
　　为的分布函数。
　　分布函数表示事件和事件同时发生的概率。如果将看成平面上随机点的坐标，取定,就是点落在平面上，以为顶点，且位于该点左下方无限矩形区域上的概率，如图3.1所示。
　　由上面的几何解释可知，随机点落在矩形区域、内的概率为
　　(3.2)
　　分布函数的性质如下。
　　(1)是变量x、y的不减函数，即对于任意固定的y，当x1《x2时，≤；对于任意固定的x，当y1《y2时，≤。
　　(2)0≤≤1(＜x＜,＜y＜)。(3.3)
　　(3)对于固定的y，有
　　F()=
　　对于固定的x，有
　　F(x,)=
　　还有
　　F(,)=
　　F(,)=
　　由以上可知,当变量时，在图3.1中随机点落在矩形内这一事件趋于不可能事件，其概率为零；而当时，图3.1中的矩形扩展到全平面，随机点落在矩形内这一事件趋于必然事件，其概率为1。
　　二维随机向量也分为离散型与连续型，下面分别加以讨论。
　　3.2二维离散型随机向量
　　如果二维随机向量的每个分量都是离散型随机变量，则称是二维离散型随机向量。因为离散型随机变量只能取有限或可列无穷个值，因此二维离散型随机向量所有可能取的值也是有限或可列无穷个。
　　定义3.2设二维离散型随机向量所有可能取的值为，记为
　　()(3.4)
　　称式(3.4)为二维离散型随机向量的概率分布或联合分布律。
　　的联合分布律如表3.1所示。
　　表3.1的联合分布律
　　的联合分布律具有下列性质。
　　(1)。(3.5)
　　(2)。(3.6)
　　二维离散型随机变量的分布函数与概率分布之间具有如下关系式
　　(3.7)
　　其中和式对一切满足的i和j求和。
　　例3.1一盒中有3个球,它们依次标有数字1、2、2。从这盒中任取一球后，不返回盒中，再从盒中任取一球。设每次取球时，盒中各球被取到的可能性相同。以、分别记第一次、第二次取得的球上标有的数字，求的联合分布律。
　　解可能取的值为(1,2)、(2,1)、(2,2)，对应的概率分别为：
　　第一次取1的概率是，第一次已取得1后，第二次取得2的概率是1。按乘法定理，得。
　　第一次取2的概率是，第一次已取得2后，第二次取得1(或2)的概率是。
　　即；。
　　的联合分布律如表3.2所示。
　　表3.2的联合分布律
　　Y
　　X
　　1
　　2
　　1
　　0
　　2
　　例3.2设有10件产品，其中7件正品、3件次品。现从中任取两次，每次取一件产品，取后不放回。令
　　X=1，若第一次取到的产品是次品；
　　X=0，若第一次取到的产品是正品；
　　Y=1，若第二次取到的产品是次品；
　　Y=0，若第二次取到的产品是正品。
　　求二维随机向量的概率分布。
　　解所有可能取的值是(0,0)、(0,1)、(1,0)、(1,1)。
　　先求，即第一次取到正品、第二次也取到正品的概率，这是古典概型，易得
　　同理，可分别求得
　　的联合分布律如表3.3所示。
　　表3.3的联合分布律
　　Y
　　X
　　0
　　1
　　0
　　1
　　3.3二维连续型随机向量及其分布函数
　　3.3.1二维连续型随机向量
　　与一维连续型随机变量类似，对于二维连续型随机向量，也用一个“密度”函数来全面描述它的取值概率。
　　定义3.3对于二维随机向量，若存在一个定义于全平面(,)的非负可积的二元函数，为任意平面区域，都有
　　(3.8)
　　则称为二维连续型随机向量,并称为的联合概率密度,简称联合密度。
　　可见，如果知道二维连续型随机变量的联合密度，那么它落入区域内的概率只需计算一个二重积分即可。其几何意义是以曲面为顶、以区域为底的曲顶柱体的体积，如图3.2所示。
　　与一维随机变量类似，联合密度具有如下基本性质。
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