《工程力学I》林巍,王海文,陈希瑞主编华中科技大学出版社

内容简介：

工程力学是研究物体机械运动一般规律和工程构件的强度、刚度、稳定性的计算原理及方法的科学，它综合了理论力学和材料力学两门课程中的有关内容。《工程力学1》包括静力学和材料力学的基本内容组成。静力学研究物体在力系作用下的平衡条件，材料力学的基本内容是研究工程构件的变形和破坏规律，从而建立工程构件的强度、刚度和稳定性的计算原理和方法的科学。

目录：

第3章空间力系第 3 章空间力系当物体所受的力，其作用线不在同一平面，而呈空间分布时，称为空间力系。在工程实际中，有许多问题都属于这种情况。如图31所示的车床主轴，分别受到切削力Fx、Fy、Fz和齿轮上的圆周力Fτ、径向力Fn以及轴承A、B处的约束反力等力的作用，这些力构成一组空间力系。图31 与平面力系一样，空间力系可分为空间汇交力系、空间平行力系及空间任意力系的情况。本章主要讨论空间力系的简化和平衡问题。 31力在空间直角坐标轴上的投影在平面力系中，常将作用于物体上某点的力向坐标轴x、y上投影。同理，在空间力系中，也可以将作用于空间某一点的力向坐标轴x、y、z上投影，其具体方法如下。一、直接投影法若力F的作用线与x、y、z轴对应的夹角已经给定，如图32(a)所示，则可直接将力F向三个坐标轴投影，得：图32 Fx=Fcosα Fy=Fcosβ Fz=Fcosγ（31）其中，α、β、γ分别为力F与x、y、z三坐标轴间的夹角。二、二次投影法当力F与坐标轴x、y间的夹角不易确定时，可先将力F投影到坐标平面Oxy上，得到力Fxy，进一步再将Fxy向x、y轴上投影。如图32(b)所示。若γ为力F与z轴间的夹角，φ为Fxy与x轴间的夹角，则力F在三个坐标轴上的投影为: Fx=Fsinγcosφ Fy=Fsinγsinφ Fz=Fcosγ（32）具体计算时，可根据问题的实际情况选择一种适当的投影方法。力与它在坐标轴上的投影是一一对应的，如果力F的大小、方向是已知的，则它在选定的坐标系的三个轴上的投影是确定的；反过来，如果已知力F在三个坐标轴上的投影Fx、Fy、Fz的值，则力F的大小与方向也就被唯一地确定了，它的大小为: F=F2x+F2y+F2z（33a）其方向余弦为: cosα=FxF2x+F2y+F2z cosβ=FyF2x+F2y+F2z cosγ=FzF2x+F2y+F2z（33b） 32力对轴的矩和力对点的矩一、力对轴的矩力使物体绕某一定轴转动，其效应通常以此力对该轴的矩来度量，称为力对轴的矩。图33 实践证明，力使物体转动的效应，不仅与力的大小和方向有关，而且与力的作用面的方位有关。以图33所示的推门的情形为例，若推力的作用线与门的转动轴平行(如F1)，或者与门的转动轴相交(F2)，则无论推力多大，都不能使门绕转动轴z转动。事实上，只要力作用在门所在的平面内，门就不会转动。由此得出结论：与转轴平行或者与其相交的力都不能使物体绕该轴转动。或者说，当力的作用线与旋转轴共面时，则不可能使物体绕该轴转动。但是，如果力F垂直于门且不通过转动轴时，就能使门转动。而且这个力越大，或者其作用线与转动轴的距离越远，这个转动效应就越显著。因此，可以用力F的大小与上述距离的乘积来度量力F对刚体绕定轴的转动效应，再用不同的正负号来区别不同的转动方向，此即力对轴的矩的概念。图34 在一般情况下，对于作用线不与z轴共面的力F，可以按下述方法来计算它对z轴的矩。如图34所示，将力F分解为两个分力F′和F″，力F′平行于z轴，力F′位于通过力F的作用点A且与z轴垂直的平面E内。由于分力F″与z轴平行，故对z轴无转动效应。于是力F对z轴的转动效应，完全由分力F′决定。因此，力对轴的矩为力在垂直于该轴的平面上的分力对于该轴与平面交点之矩。力F对z轴的矩，定义如下： Mz（F）=MO（F′）=±F′d（34）式中:O点为平面E与z轴的交点；d为O点到力F′作用线的距离。式(34)中正负号规定如下：从z轴的正向看去，力使刚体逆时针方向转动时力矩为正，反之为负。或者用右手螺旋法则来判定：若以右手四个手指弯曲的指向表示力F′绕z轴的转动方向，则拇指的指向与z轴的正向相同者为正，反之为负。力对轴的矩是一个代数量，其单位是牛顿·米（N·m）。从力对轴的矩的定义可知以得出以下结论。（1）当力与轴平行时（F′=0）或力作用线与轴相交时（d=0），力对轴的矩均为零。（2）当力沿其作用线移动时，力对轴的矩不变。这是因为此时F′及d均未改变。合力矩定理空间力系的合力对某一轴的矩，等于各分力对同一轴之矩的代数和。设有空间一般力系（F1，F2，…，Fn），其合力为FR，则合力矩定理为： Mz（FR）=Mz（F1）+Mz（F2）+…+Mz（Fn） =∑MZ（F）（35）定理证明略。在许多实际问题中，直接根据力对轴之矩的定义，由力在垂直于轴的平面上的投影计算力对轴的矩，往往很不方便。因此常利用力在直角坐标轴上的投影及其作用点的坐标来计算力对某一轴的矩。图35 设有一力F，其作用点A的坐标为（x、y、z），如图35所示。为求力F对z轴的矩，可将力F向（x、y、z）三个坐标轴上投影，分别记为Fx、Fy、Fz，而F′为力F在Oxy坐标平面内的分力。根据力对轴的矩的定义，F对于z轴的矩等于F′对于O点的矩，即Mz（F）=MO （F′）,而根据平面力系的知识及合力矩定理，有MO（F′）=xFy-yFx，于是有： Mz（F′）=xFy-yFx 同理，可计算力F对x轴及对y轴的矩。因此，力F对x、y、z轴的矩分别为: MxF=yFz-zFy MyF=zFx-xFz MzF=xFy-yFx（36）式（36）即为力对轴的矩的解析表达式。应注意式中力F的投影Fx、Fy、Fx和力F的作用点的坐标x、y、z都是代数量。图36 【例31】托架固连在轴上，载荷F=500 N，方向如图36(a)所示，求力F对直角坐标系各轴的矩(图36中长度单位为cm)。

【解】（1）求方向余弦，由图36(b)可得： cosα=112+32+52=15.92 cosβ=35.92,cosγ=55.92 （2）计算力F在各坐标轴上的投影如下。 Fx=Fcosα=500×15.92 N=84.5 N Fy=Fcosβ=500×35.92 N=253 N Fz=Fcosγ=500×55.92 N=422 N （3）计算力F对各坐标轴的矩。力F作用点A的坐标为： x=-15 cm,y=-12 cm,z=0 因此，利用式（36）求得力F对各坐标轴的矩为: MxF=yFz-zFy =0.12×422-0×253N·m =50.6 N·m MyF =zFx-xFz=0×84.5+0.15×422 N·m =63.3 N·m Mz （F′）=x Fy-yFx=［（-0.15）×253-0.12×84.5］ N·m =-48.1 N·m